Sicherheit beim Bogenschießen im LARP

Herleitung von Strecke, Geschwindigkeit, Beschleunigung und kin. Energie eines Pfeils

Die allgemeine Formel für den Luftwiderstand lautet:

(Gl. 3)

mit
r: Dichte der Luft;
A: angeströmte Querschnittsfläche;
c_w: Luftwiderstandsbeiwert;
v: relative Geschwindigkeit

Die Konstanten werden zum Faktor k zusammengefasst:

(Gl. 4)

Weiterhin gilt:

(Gl. 5)

mit
m: Masse;
a_w: Verzögerung

Durch Gleichsetzen von Gl. 3 und Gl. 4 und dividieren durch m erhält man:

(Gl. 6) Durch Umstellen von Gl. 6 erhält man: (Gl. 7)

Dies wiederum entspricht einer homogenen, nicht-linearen Differenzialgleichung (DGL) 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form

(Gl. 8)

Diese DGL lässt sich wiefolgt lösen. Zuerst bringt man die beiden Summanden jeweils auf eine Seite der Gleichung und wendet die Differenzialschreibweise an (dies folgt auch direkt aus Gl. 6)...

(Gl. 9) ... anschließend separiert man die Variablen... (Gl. 10)

... und integriert auf beiden Seiten (k und m sind konstant):

(Gl. 11) Das Ergebnis ist (C ist eine Integrationskonstante): (Gl. 12)

Aufgelöst nach v(t) sieht die Formel so aus:

(Gl. 13)

Jetzt muss noch die Integrationskonstante bestimmt werden. Dies geschieht durch Einsetzen der Randbedingung v₀ = v(0)

(Gl. 14)

Vereinfacht und nach C aufgelöst ergibt sich Gleichung 16.

(Gl. 15) bzw. (Gl. 16)

Nachdem C bekannt ist, wird Gl. 16 in Gl. 13 eingesetzt und es ergibt sich:

(Gl. 17)

Durch Integration von Gl. 17 lässt sich natürlich auch s(t) bestimmen. Der symbolische Integrator von Mathematica [4] berechnet das Integral von Gl. 17 zu

(Gl. 18)

Die Beschleunigung ergibt sich aus Gl. 6. Sicherheitshalber überprüfen wir das aber nochmal mit dem symbolischen Differentiator von Mathematica [5]. Dieser berechnet die Ableitung von Gl. 17 ebenfalls zu:

(Gl. 19)

Die Konstanten in den Gl.n 17, 18 und 19 sind bekannt:

• Die Dichte von Luft: r = 1,293 kg/m³

• Die angeströmte Fläche: Der Mindestdurchmesser von Larppfeilköpfen beträgt A = 50 mm, damit sich die Kraft im Fall eines Augentreffers am Knochenbogen über und unter dem Auge abstützen kann (s.u.).

• Der Luftwiderstandsbeiwert müsste eigentlich experimentell ermittelt werden. Jedoch kann ein Larppfeil für die Berechnung als Zylinder angenommen werden, da der Kopf in seiner Grundform zylindrisch ist. Der Pfeilschaft bietet nur einen sehr geringen Luftwiderstand. Für einen Zylinder mit dem Verhältnis d/l = 1 gilt gemäß Tabelle 2: c_w = 0,91

• Die Masse eines Pfeils kann leicht mit Hilfe einer Waage ermittelt werden. Ein Pfeil wiegt schätzungsweise m = 0,05 kg

• Die Abschussgeschwindigkeit v₀ eines Pfeils kann ganz einfach über die Energie des Bogens (siehe Tabelle 1) und die Formel v = sqrt(2E/m) (Gl. 20 umgestellt nach v) bestimmt werden.

Die nach der Zeit t verbliebene Energie E(t) ergibt sich aus der allgemeinen Formel für die kinetische Energie:

(Gl. 20)

Gl. 17 muss in Gl. 20 eingesetzt werden. Heraus kommt dann die endgültige Formel für die Energie E(t):

(Gl. 21)

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